Liebe Ela,
um Deine Frage zu beantworten, müssen wir uns zuerst ansehen, was beim in Deutschland üblichen Lotto passiert: Jeden Samstag werden 6 unterschiedliche Zahlen zufällig aus den Zahlen 1 – 49 ausgewählt. Außerdem gibt es auch noch eine Superzahl, die aus den Zahlen 0 – 9 bestimmt wird. Wer die 6 Zahlen und die Superzahl richtig hat, landet den Hauptgewinn (mit Glück mehr als eine Million Euro).
Um auszurechnen, wie viele Möglichkeiten es für einen Tipp, also für die Auswahl von 6 Zahlen aus 49 gibt, ignorieren wir die Superzahl fürs Erste. Wir wollen also eine Zahl aus 49 möglichen auswählen. Hierfür gibt es 49 Möglichkeiten. Für die zweite Zahl gibt es nur noch 48 Möglichkeiten (weil eine Zahl schon gewählt wurde), für die dritte Zahl gibt es 47 Möglichkeiten und so weiter, bis für die Auswahl der sechsten Zahl nur noch 44 Möglichkeiten bleiben. Insgesamt macht das...
...Möglichkeiten, die 6 Zahlen auszuwählen. Die einzelnen Möglichkeiten, die wir uns überlegt haben, müssen multipliziert werden, weil man ja jede Zahl mit den anderen kombinieren kann. Genauso, wie Du Möglichkeiten hast dich anzuziehen, wenn Du unter 2 Hosen und 3 T-Shirts wählen kannst.
Bei unserer Berechnung haben wir angenommen, dass es einen Unterschied macht, an welcher Stelle welche Zahl steht. Wir haben also die Kombinationen 42,23,11,15,2,37 und 15,42,37,11,2,23 als zwei verschiedene Tipps gezählt. Beim Lotto spielt die Reihenfolge der getippten Zahlen aber keine Rolle, diese Tipps wären gleich. Daher müssen wir die Zahl noch durch die Anzahl der Möglichkeiten teilen, in denen wir die 6 gewählten Zahlen anordnen können. Dies können wir uns wieder genauso überlegen: Für die Zahl 42 gibt es 6 Plätze zur Auswahl, für die Zahl 23 gibt es 5 Plätze usw. Insgesamt macht das...
...(sprich „6 Fakultät“) mögliche Anordnungen, die wir zu viel gezählt haben. Die Anzahl der möglichen Tipps bekommen wir also, wenn wir durch dividieren.
Für den Hauptgewinn muss aber auch noch die Superzahl richtig sein. Für diese gibt es genau 10 Möglichkeiten, weil die Superzahl separat aus den Zahlen von 0 – 9 ausgewählt wird. Dies berücksichtigen wir, indem wir den Bruch einfach noch mal 10 nehmen.
Zusammengefasst gibt es also für den Hauptgewinn (6 richtige Zahlen plus Superzahl)...
...Möglichkeiten. Der Term in der Klammer ist der sogenannte Binomialkoeffizient, den man auch „6 aus 49“ spricht – eine Bezeichnung, die Du vielleicht schon einmal für Lotto gehört hast.
Ausgerechnet sind das etwa 140 Millionen Möglichkeiten. Zum Vergleich: Das sind ungefähr so viele Einwohner wie Deutschland und Italien zusammen haben. Es ist also grob gesagt gleich schwer, 6 zufällige Lotto-Zahlen plus Superzahl richtig zu tippen wie eine aus Deutschland oder Italien zufällig ausgewählte Person richtig zu erraten. Nicht unmöglich, aber eben ziemlich schwer.
Prof. Dr. Barbara Staehle lehrt Mathematik und Theoretische Informatik an der HTWG Konstanz. Sie beschäftigt sich aktuell vor allem mit Quantencomputern.
